Dans un article précédent, nous avons étudié les suites arithmétiques. Aujourd’hui, étudions les suites géométriques… Une suite géométrique est une suite dans laquelle chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante appelée raison.

Une suite géométrique est une suite (u_n) telle que pour tout entier naturel n, on a :

un+1=q⋅un,un+1​=q⋅un​,

où q est la raison de la suite géométrique.

Exemple :

La suite (2, 4, 8, 16, 32,…) est une suite géométrique de raison q=2, car chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par 2.

Terme général :

Le terme général de la suite géométrique (u_n) de premier terme u_0 et de raison q est donné par :

un=u0⋅qnun​=u0​⋅qn

1. La somme des n+1 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme u_0 et de raison q est donnée par :

Sn=u0⋅1−qn+11−q,Sn​=u0​⋅1−q1−qn+1​,

lorsque |q| > ou = 1.

2. Si |q|<1, alors la suite géométrique converge vers 0. Si q>1, alors la suite diverge vers +infini, et si q<-1, alors la suite diverge vers -infini. Enfin, si q=1, alors la suite est constante.

Exemple :

Soit la suite géométrique (u_n) de premier terme u_0 = 3 et de raison q = 1/2. Calculons la somme des 5 premiers termes de cette suite :

S4=u0⋅1−q51−q=3⋅1−(12)51−12=3⋅3116=9316.S4​=u0​⋅1−q1−q5​=3⋅1−21​1−(21​)5​=3⋅1631​=1693​.

Ainsi, la somme des 5 premiers termes de la suite (3, 3/2, 3/4, 3/8, 3/16, …) est 93/16.

Les suites géométriques sont très utiles en mathématiques et en physique. Elles permettent de modéliser des phénomènes tels que la croissance exponentielle, la dégradation radioactive, la décroissance d’une population, etc. Elles sont également utilisées en finance pour calculer le taux de rendement d’un investissement.

Les suites géométriques sont des suites très importantes en mathématiques. Elles sont faciles à définir et à manipuler, et ont de nombreuses applications en sciences. Il est important de comprendre leurs propriétés et de savoir les utiliser pour résoudre des problèmes.