Les homothéties sont une transformation géométrique qui consiste à agrandir ou réduire une figure tout en la conservant similaire à l’original. Elles sont définies par un centre d’homothétie et un rapport d’homothétie. Les homothéties sont souvent utilisées en géométrie plane et en géométrie dans l’espace.

Une homothétie de centre O et de rapport k est une transformation qui à tout point M de l’espace associe le point M’ tel que : {OM’}=k{OM}.

Le rapport k est un nombre réel positif qui détermine si la figure est agrandie ou réduite. Si k > 1, la figure est agrandie et si 0 < k < 1, la figure est réduite. Si k = 1, la figure ne change pas de taille.

Le centre d’homothétie O est le point fixe de l’homothétie. Cela signifie que le point O est transformé en lui-même, c’est-à-dire que O est invariant par l’homothétie. Les autres points de la figure sont transformés en des points qui sont sur la droite passant par O et le point correspondant de la figure originale.

• Les homothéties conservent les angles. Cela signifie que les angles entre deux droites, ou deux courbes, restent les mêmes avant et après l’homothétie.
• Les homothéties conservent les rapports de distances. Si deux points A et B sont situés sur une même droite passant par le centre O de l’homothétie, alors leur rapport de distances reste le même après l’homothétie. En effet, si {OA}=a et {OB}=b, alors frac{OA}{OB}=frac{a}{b}=frac{O’A}{O’B}.
• Les homothéties composées sont équivalentes à une seule homothétie. Cela signifie que si on effectue une homothétie de centre O et de rapport k1, suivie d’une homothétie de centre O et de rapport k2, cela revient à effectuer une seule homothétie de centre O et de rapport k1 × k2.

Les homothéties ont de nombreuses applications en géométrie et dans d’autres domaines. Par exemple, en optique, les lentilles sont souvent des homothéties qui agrandissent ou réduisent l’image d’un objet. Les homothéties sont également utilisées en cartographie pour représenter des cartes géographiques à différentes échelles. Enfin, les homothéties sont souvent utilisées en modélisation mathématique pour simuler des phénomènes qui se produisent à différentes échelles.

Exemples :

• Si on prend une figure comme un cercle, on peut réaliser une homothétie pour obtenir un cercle plus grand ou plus petit, en gardant les mêmes proportions. Le centre de l’homothétie est le centre du cercle.
• Si on prend un triangle, on peut réaliser une homothétie pour obtenir un triangle plus grand ou plus petit.
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